定理1.12'
収束する数列の極限は唯一つしかない．
収束する数列の極限はただ一つ．(P24)
証明の注意点
Section titled “証明の注意点”この定理までの実数の性質において，実数の除法について何もわかっていない． よって，は使えない．つまり， を使えないということ． よって， という証明ができないということ．
背理法により示す．
数列が２つの極限を持つとする． 定理1.4により，を満たす 有理数が存在する．定理1.12により， 有限個を除いてを満たす．つまり，を満たすが無数にある． 定理1.12は，極限とちょっとでも差がある部分には無数に数列があるということだったから．
また同様に，定理1.12より有限個を除いてを満たす． つまり，を満たすが無数にある． こちらは部分に無数に数列があるということだ．
以上により，無数のについて，を満たすことになる． 矛盾が生じる．
背理法により，極限はただ一つしかない．