定理1.12'
収束する数列{αn}の極限は唯一つしかない．
証明の注意点
この定理までの実数の性質において，実数の除法について何もわかっていない．
よって，2εは使えない．つまり，
∣αn−α∣<2εを使えないということ．
よって，∣β−α∣=∣β−αn+αn−α∣<2ε+2ε=ε
という証明ができないということ．
証明
背理法により示す．
数列{αn}が２つの極限α,β,α<βを持つとする．
定理1.4により，α<r<βを満たす
有理数rが存在する．定理1.12により，
有限個を除いてαn<rを満たす．つまり，αn<rを満たすαnが無数にある．
定理1.12は，極限とちょっとでも差があるr−α部分には無数に数列があるということだったから．
また同様に，定理1.12より有限個を除いてr<αnを満たす．
つまり，r<αnを満たすαnが無数にある．
こちらはβ−r部分に無数に数列があるということだ．
以上により，無数のαnについて，αn<r，r<αnを満たすことになる．
矛盾が生じる．
背理法により，極限はただ一つしかない．