P26 問107 マグロウヒル大学演習シリーズ微積分(上)

問107

　(a) $x$ をその2乗が2よりも小さい有理数とするならば， $x+(2-x^2)/10$ は $x$ より大きいことを示せ．

　(b) $x$ をその2乗が2より大きい有理数として， $x$ より小さくて2乗が2より大きい有理数を， $x$ を使って求めよ．

　(a)は(b)を解くための問題だと思ったら違った．罠．

　題意を数式を使った命題に直すと， $x^2 < 2, \, x \in \mathbb{Q}$ ならば， $x < x + \dfrac{2-x^2}{10}$ であることを示せということ．

$(x + \dfrac{2-x^2}{10}) - x = \dfrac{2-x^2}{10} > 0$ なので， $x < x + \dfrac{2-x^2}{10}$ ．

　答えは(a)の $x + \dfrac{2-x^2}{10}$ ではないか！？と考え，証明を試みたが違うことがわかった．（(a)の意味は何なのかと落胆した．）

　題意を書き直す． $x^2 > 2, \, x \in \mathbb{Q}$ のとき， $y < x, \, y^2 > 2, \, y \in \mathbb{Q}$ なる $y$ を $x$ を使って求めよということ．

　 $x > \sqrt{2}$ のとき， $y = \dfrac{x^2+2}{2x}$ を考える．

x-y = x - \dfrac{x^2+2}{2x} = \dfrac{2x^2-x^2-2}{2x}=\dfrac{x^2-2}{2x} > 0．

したがって， $y < x$ ．また，

y^2-2 = \left(\dfrac{x^2+2}{2x}\right)^2 - 2 = (計算して) = \left(\dfrac{x^2-2}{2x}\right)^2 > 0．

したがって， $y^2 > 2$ ．

　 $x < -\sqrt{2}$ のとき， $y = x-1$ とおく．明らかに $y < x$ である．

2-y^2 = 2 - (x-1)^2 = (計算して) = -(x-1)^2 + 2 < 0．

したがって， $y^2 > 2$ ．

　以上をまとめると，

y = \begin{cases} \dfrac{x^2+2}{2x} & x > \sqrt{2} \\ x-1 & x < -\sqrt{2} \end{cases}

　(b)は自力で解けなかった．Geminiに問題を与えて解いてもらった． $\dfrac{x^2+2}{2x}$ や $x-1$ のアイデアはGeminiが考えて出てきたものだ． $x-y$ の計算で， $x^2>2$ を使うには $\dfrac{x^2+2}{2x}$ なのだと思う．

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