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数学の主張

P26 問108 マグロウヒル大学演習シリーズ 微積分(上)

問108

　(a) √5+√3，(b) √3−√2，(c) (√3)(√2)， (d) √2√3は，それぞれデデキントの切断をどのように使えば定義できるか例示せよ．

　√5，√3，√2の有理数の切断を以下のとおりに表す．

√5=⟨𝐴,𝐴′⟩，𝐴={𝑟∈ℚ|𝑟<√5}，𝐴′=𝐴の補集合√3=⟨𝐵,𝐵′⟩，𝐵={𝑟∈ℚ|𝑟<√3}，𝐵′=𝐵の補集合√2=⟨𝐶,𝐶′⟩，𝐶={𝑟∈ℚ|𝑟<√2}，𝐶′=𝐶の補集合

(a)

Section titled “(a)”

　√5+√3=⟨𝐴+𝐵,𝐴′+𝐵′⟩，𝐴+𝐵={𝑎+𝑏∈ℚ|𝑎∈𝐴，𝑏∈𝐵}， 𝐴′+𝐵′は𝐴+𝐵の補集合．

(b)

Section titled “(b)”

　−√2=⟨−𝐶′,−𝐶⟩，−𝐶′={−𝑠∈ℚ|𝑠∈𝐶′}， −𝐶={−𝑠∈ℚ|𝑠∈𝐶}となる． したがって，　√3−√2=⟨𝐵−𝐶′,𝐵′−𝐶⟩， 𝐵−𝐶′={𝑟−𝑠∈ℚ|𝑟∈𝐵，𝑠∈𝐶′}，𝐵′−𝐶は𝐵−𝐶′の補集合．

(c)

Section titled “(c)”

　(√3)(√2)=⟨𝐵・𝐶,𝐵′・𝐶′⟩， 𝐵・𝐶={𝑟𝑠∈ℚ|𝑟∈𝐵，𝑠∈𝐶}， 𝐵′・𝐶′は𝐵・𝐶の補集合．

(d)

Section titled “(d)”

　√2√3=√3√23なので， √3√23=⟨𝐷,𝐷′⟩， 𝐷={𝑟𝑠3∈ℚ|𝑟∈𝐵，𝑠∈𝐶}， 𝐷′は𝐷の補集合．