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数学の主張

P106 第4章 章末問題7(3)．

問題7(3)

次の行列式を計算せよ．

|𝑎𝑏𝑐𝑏𝑐𝑐𝑎𝑎𝑏𝑎2𝑏2𝑐2|

　基本変形と余因子展開で計算するテクニカルな問題だが，どう解くのか途中式がないとわからない可能性がある （私はGeminiの助けをもとに解いた．）．途中式を記し，解答する．

解答

Section titled “解答”
|𝑎𝑏𝑐𝑏𝑐𝑐𝑎𝑎𝑏𝑎2𝑏2𝑐2|=|𝑎𝑏−𝑎𝑐−𝑎𝑏𝑐𝑐𝑎−𝑏𝑐𝑎𝑏−𝑏𝑐𝑎2𝑏2−𝑎2𝑐2−𝑎2|=(𝑏−𝑎)(𝑐−𝑎)|𝑎11𝑏𝑐−𝑐−𝑏𝑎2𝑏+𝑎𝑐+𝑎|
  • (1)は行基本変形を行った．
    1. (-1)x1行目を2行目に加える．
    2. (-1)x1行目を3行目に加える．
  • (2)は2行目，3行目の共通因数を外に出した．
|𝑎11𝑏𝑐−𝑐−𝑏𝑎2𝑏+𝑎𝑐+𝑎|=|001𝑏𝑐+𝑏𝑎−𝑐+𝑏−𝑏−𝑐𝑎𝑏−𝑐𝑐+𝑎|=|𝑏𝑐+𝑏𝑎−𝑐+𝑏−𝑐𝑎𝑏−𝑐|=(𝑏−𝑐)|𝑏𝑐+𝑏𝑎1−𝑐𝑎1|=(𝑏−𝑐)|𝑏𝑐+𝑏𝑎+𝑐𝑎0−𝑐𝑎1|=(𝑏−𝑐)(𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎)
  • (3)は行基本変形により，(1,1)成分，(2,1)成分を0にする．
  • (4)は余因子展開．
  • (5)は2行目の共通因子を外に出した．
  • (6)は行基本変形により，(2,1)成分を0にする．
  • (7)は余因子展開．

　(2)と(7)を合わせて，

|𝑎𝑏𝑐𝑏𝑐𝑐𝑎𝑎𝑏𝑎2𝑏2𝑐2|=−(𝑎−𝑏)(𝑏−𝑐)(𝑐−𝑎)(𝑎𝑏+𝑏𝑐+𝑐𝑎)