P72 問71 (第3章 数列)

問72

　 ， で，は数を定義する縮小区間の集合であることを証明せよ．

証明の方針

　本問題は数列 が自然対数の底 を含む縮小区間の集合であることを証明したいので，縮小区間の定義を確認すれば，おのずと何をすればよいか明らかになります．

縮小区間

　それぞれの区間がその前の区間に含まれ，そして，であるような区間を縮小区間という．

　これだけでは何を示せばよいか見えづらいので，具体的に表現します．すなわち，以下の条件を満たすことを示せばよいです．

1. 各 に対して、 である．
2. 数列 は単調増加である（）．
3. 数列 は単調減少である（）．
4. 区間の長さが に収束する（）．

　数についてはの極限の話になります．区間の長さがに収束することから，の極限を計算すればよいと見通しが立ちます．

　したがって，大きな方針として縮小区間を示し，その後に数であることを示します．

解答

　（式変形も記述したので，解答が少し長くなっています．）

　が縮小区間の集合であることを示し，その後数を定義するものであることを示す．

1. 各 に対して、 である .

   　各に対し，であることを示せばよい．でだから，である． 極限でもない限り，等号は成立しない．

2. 数列 は単調増加である.

   　数列 が単調増加である、すなわち であることを示します。 これには，一般化された相加相乗平均の不等式を利用します。

   一般化された相加相乗平均の不等式

   　 個の非負の実数 が与えられたとき、それらの相加平均 (Arithmetic Mean, AM) は相乗平均 (Geometric Mean, GM) 以上である。 すなわち、

   等号が成立するのは、 のときに限る。

   　 個の正の数について考えます。これらの相加平均は

   相乗平均は

   相加相乗平均の不等式により，である，すなわち

   ここで，なのでであるため，等号は成立しない．両辺乗すれば， となり，数列が単調増加であることが示せました．

3. 数列 は単調減少である.

   　数列 が単調減少である、すなわち であることを示したい．だが，これを直接示すのは複雑なので，代わりに を証明します．このとき，二項定理を使った不等式 を使います．

   ここで、式の中の の部分に注目します。

   なので，これを元の式に代入すると

   二項定理を使った不等式でこれを評価する.

   だから，

   分子:
   分母: .

   よって分子＞分母だから，

   したがって， が示され，数列 は単調減少であることが証明されました．

4. 区間の長さが に収束する．

   　 である．したがって，．区間の長さが に収束しました．

5. 数 を定義する縮小区間の集合であること．

   　縮小区間に対してただ1つの実数が対応し，その実数は なので，結論を示すことができました．