実数の加法の定義．（P18，補題1.1）

定義（加法）

　有理数の任意の２つの集合が与えられたとき，の和全体の集合をで表わす：

また同様に

などと書く．

補題1.1

　が有理数のとき，なる有理数に対してなる有理数が存在する．

定義1.3

　２つの実数が任意に与えられたとき，の和を

と定義する．

定義の主張

　有理数の２つの集合における加法を定義している．まだここでは有理数の切断の加法について言及していない．

補題1.1の主張

　定義1.3を主張する上で必要．主張内容は上のとおり素直に受け取ればよい．

補題1.1の証明の考え方

　有理数の存在を証明するので，仮定のを使って，条件を満たす有理数を構成できることを示せばいい．

　有理数を以下のとおりに定義する．

このとき，であり，からからおよびがわかる．

　したがって，からを構成できたので，補題1.1は成立する．

定義1.3の主張

　はの全体である．を満たす有理数の全体などと言っていない．で理論が構築されていれば，わかりやすいのに．

は有理数の切断である．

　と定義したが，が有理数の切断かどうかはまだ示されていない．

1. が空集合でないこと．

   　まず，が空集合でないことを示す．

   　は空集合ではない．なぜなら，は有理数の切断において空集合ではないので，ある有理数が存在し，となり，に元が存在する．

   　はの補集合と定義される．これだけではが空集合かどうかは不明である．しかし，は空集合でない．

   　なぜならば，任意のにおいてを満たすが取れる．すなわち，に含まれない有理数が存在するということ．つまり，は空集合でないということ．

2. 有理数の切断の条件3を満たすこと．

   　任意でを取る．補題1.1よりを満たすがある．これはを意味し，である有理数はということ．すなわち，有理数の切断の条件3を満たす．

3. に属する最大の有理数はない．

   　に最大の有理数がないので，にも最大の有理数はない．したがって，にも最大の有理数はない．

　以上により，は有理数の切断であることが示せた．