任意の実数はその値で有理数直線を切断できる(定理1.3)

定理1.3

　任意の実数について

　我々は実数に馴染みがあるので，当たり前のように思う．しかし，これの証明は案外わかりづらかった．

定理の主張

　定義1.1において，我々は有理数の切断を実数とよぶことにした． すなわち，有理数直線をある点で２つの有理数の集合に分け，その組を実数と呼んだ． これはつまり，２つに分けた有理数の集合はある基準点があって，無数の有理数を基準点との大小比較によって分けられるのである．

　この定理はこの逆を主張している． つまり実数を１つ選んだとき，その実数を構成する２つの有理数の集合はどのようなものなのか， どの基準点から大小比較すればいいのかということ． 具体的には，実数と大小比較して（と）よいということ．

　この定理によって，実数というものは有理数直線を２つに分割できる点（境目）とみなすことができる． つまり，有理数直線上の有理数の間に実数があるようにみることができる．

　いやらしいのは，有理数と実数の比較をしていること．ここまでの実数論の話の中で， 直接的に有理数と実数を比較できるとは言っていない．有理数を実数とみなし，比較するしかない．

証明

　が有理数の切断として機能することを示したい．つまり，任意の有理数に対し， rはのどちらかに必ず属することを示したい．

　背理法で示す．つまり，のどちらにも属さないある有理数が存在したと仮定し，矛盾を導く． は有理数なので， のように有理数の切断で表せる．　このとき，により，

である．

　をとるとなので，．つまり，． よって，．したがって，．これは(1)に矛盾する．

　以上から，どんな有理数ものどちらかに必ず属する． よって，実数を構成する２つの有理数は，定理で示した表現でよい．