高校数学の複素数を勉強しているとき，複素数って２つの実数の組と捉えれば可視だよねと気づき，その発展形として３つの実数の組はどうなるのか考え始めた．これがきっかけで
このページの三元数は誕生した．
しかし鵜呑みにしてはいけない．一般的に三元数は存在しない．
この三元数ページは自分が考えた結果を残すべく誕生したものである．
四元数，八元数はある．それらとこの三元数はどう違うのかを表で示す．
| 加法 | 減法 | 乗法 | 交換法則(加法) | 交換法則(乗法) | 結合法則(加法) | 結合法則(乗法) | 分配法則(左) | 分配法則(右) |
|---|
| 四元数 | | | | | | | | | |
| 八元数 | | | | | | | | | |
| 三元数 | | | | | | | | | |
三元数の元を3つの実数の組とする．も同様．
加法
要素毎に足し算する．
減法
要素毎に引き算する．
乗法
スカラー倍
とする．
以上までの加法・減法・乗法・スカラー倍から数を構成する．
三元数
，， とおくと，
加法
減法
乗法
，，，，，により定義する．
，とする．
加法
乗法
，とすると，
よって，．交換法則の乗法は成り立たない．
加法
，，とおくと，
乗法
，，とおくと，
よって，．したがって，結合法則の乗法は成り立たない．
左分配法則
，，とおくと，
よって，．したがって，分配法則は成り立たない．
右分配法則
この三元数は右分配法則が成り立つように作った．
よって，．したがって，右分配法則は成立する．
iを掛けるとxy平面を回転する，jを掛けるとxz平面を回転する．
つまり，三次元のxyz平面で言えば，三元数に対しはをxy平面を回転させた点に移動する．
はxz平面を回転させた点に移動する．
