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P108 第4章 章末問題11(5).

問題11(5)

 次の等式を証明せよ.

|1+𝑥2𝑥0⋮0𝑥1+𝑥2𝑥⋱⋯0𝑥⋱⋱0⋯⋱⋱1+𝑥2𝑥0⋮0𝑥1+𝑥2|=1+𝑥2+𝑥4+⋯+𝑥2𝑛

 帰納法を用いる.

𝐴𝑛=|1+𝑥2𝑥0⋮0𝑥1+𝑥2𝑥⋱⋯0𝑥⋱⋱0⋯⋱⋱1+𝑥2𝑥0⋮0𝑥1+𝑥2|

とおく.𝐴1=1+𝑥2,

𝐴2=|1+𝑥2𝑥𝑥1+𝑥2|=(1+𝑥2)(1+𝑥2)−𝑥2=1+𝑥2+𝑥4

であり,

𝐴3=|1+𝑥2𝑥0𝑥1+𝑥2𝑥0𝑥1+𝑥2|=(1+𝑥2)𝐴2−𝑥|𝑥𝑥01+𝑥2|=(1+𝑥2)𝐴2−𝑥2𝐴1=1+𝑥2+𝑥4+𝑥6

である.

 つまり,𝐴𝑛−1まで題意が成り立つと仮定すると,

𝐴𝑛=(1+𝑥2)𝐴𝑛−1−𝑥2𝐴𝑛−2=(1+𝑥2)(1+𝑥2+𝑥4+⋯+𝑥2(𝑛−1))−𝑥2(1+𝑥2+𝑥4+⋯+𝑥2(𝑛−2))=1+𝑥2+𝑥4+⋯+𝑥2𝑛.

以上により,帰納法から題意が示せた.

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