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数学の主張

P106 第4章 章末問題8(1)．

問題8(1)

　次の行列式を計算せよ．

|𝑎𝑏𝑐𝑑𝑏𝑎𝑑𝑐𝑐𝑑𝑎𝑏𝑑𝑐𝑏𝑎|

解答

Section titled “解答”
|𝑎𝑏𝑐𝑑𝑏𝑎𝑑𝑐𝑐𝑑𝑎𝑏𝑑𝑐𝑏𝑎|=|𝑎𝑏𝑎+𝑐𝑏+𝑑𝑏𝑎𝑏+𝑑𝑎+𝑐𝑐𝑑𝑎+𝑐𝑏+𝑑𝑑𝑐𝑏+𝑑𝑎+𝑐|=|𝑎−𝑐𝑏−𝑑00𝑏−𝑑𝑎−𝑐00𝑐𝑑𝑎+𝑐𝑏+𝑑𝑑𝑐𝑏+𝑑𝑎+𝑐|=|𝑎−𝑐𝑏−𝑑𝑏−𝑑𝑎−𝑐||𝑎+𝑐𝑏+𝑑𝑏+𝑑𝑎+𝑐|
  • (1)は3行目に1行目を加え，4行目に1行目を加えた．
  • (2)は1列目に3列目x(-1)を加え，2列目に4列目x(-1)を加えた．
  • (3)は定理4.6.2(ブログ未記事)の展開をした．
|𝑎−𝑐𝑏−𝑑𝑏−𝑑𝑎−𝑐|=|𝑎−𝑐𝑏−𝑑𝑎+𝑏−𝑐−𝑑𝑎+𝑏−𝑐−𝑑|=|𝑎−𝑏−𝑐+𝑑𝑏−𝑑0𝑎+𝑏−𝑐−𝑑|=(𝑎+𝑏−𝑐−𝑑)(𝑎−𝑏−𝑐+𝑑)
  • (4)は2列目に1列目を加えた．
  • (5)は1行目に2行目x(-1)を加えた．
  • (6)は行列式を展開した．
|𝑎+𝑐𝑏+𝑑𝑏+𝑑𝑎+𝑐|=|𝑎+𝑐𝑏+𝑑𝑎+𝑐+𝑏+𝑑𝑎+𝑏+𝑐+𝑑|=|𝑎−𝑏+𝑐−𝑑𝑏+𝑑0𝑎+𝑏+𝑐+𝑑|=(𝑎+𝑏+𝑐+𝑑)(𝑎−𝑏+𝑐−𝑑)
  • (7)は2列目に1列目を加えた．
  • (8)は1行目に2行目x(-1)を加えた．
  • (9)は行列式を展開した．

最終的には，(3)，(6)，(9)を合わせて，

|𝑎𝑏𝑐𝑑𝑏𝑎𝑑𝑐𝑐𝑑𝑎𝑏𝑑𝑐𝑏𝑎|=(𝑎+𝑏+𝑐+𝑑)(𝑎−𝑏+𝑐−𝑑)(𝑎+𝑏−𝑐−𝑑)(𝑎−𝑏−𝑐+𝑑)

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