P72 問70 (第3章 数列)

問70

　 は発散するのに，平均を取ると収束するのはおもしろいですね．平均をとっても発散するだろうと思ってしまうけれど．

証明の方針

　セザロ平均の定理を使って， に収束することを示します．

セザロ平均の定理

数列が収束し， ならば，．

　 が掛けられているのではなく，平均を計算していると見えないとセザロ平均の利用ができません．私はまさにそれでした．

　 は発散するので，極限の乗法( )では極限を計算できません．また，を展開し， に極限の加法を適用して， がそれぞれ になるから，極限も だと考えましたが，極限の加法は有限個の足し算に適用できるものでしたので，誤りです．

解答

　 を考えます．

なので，セザロ平均の定理を適用すると，