実数が有理数の場合の加法について（P19)

定理

が有理数のとき，実数としての和と有理数としての和は一致する：

定理の主張

　実数の加法については定義した．だが，その実数がともに有理数であった場合，和の切断は自然な表し方ができるということを主張している．すなわち，

とできる．要するに，有理数であれば，で切断したことと同じということ．

　上記は当たり前のようにみえるが，実数の加法の定義では

()なので，とは言えないのである．

証明の考え方

　を実数として切断で表わすと，として，．

　また，，とおく．

　を示すには，を示せばよい．

1. を示す．

   とする．である．補題1.1より，有理数に対し，なる有理数が存在する．有理数の切断の条件1.より，なる有理数は．よって，なので，．

2. を示す．

   とする．なので，．したがって，．つまり，．

　以上より，を示せた．

復習ノート

• 実数が等しいとはどういうことか．（参考）
• 実数の和はどのように定義されてるか．