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数学の主張

実数は有理数で近似できる．（定理1.5）

定理1.5

　自然数𝑚が与えられたとする．このとき，任意の実数𝛼に対し，

𝑎<𝛼≤𝑎+1𝑚

なる有理数𝑎が存在する．

定理の主張

Section titled “定理の主張”

　実数𝛼は有理数でいくらでも近似できる．近似精度は自然数𝑚による．

証明の考え方

Section titled “証明の考え方”

　𝛼=⟨𝐴,𝐴′⟩とする．自然数𝑚を何かひとつ決めたとして， 𝑎∈𝐴，𝑎+1𝑚∈𝐴′なる有理数𝑎が構成できることを示せばよい．

  1. 有理数𝑎を構成する．

    𝑟∈𝐴,𝑠∈𝐴′を取る．𝑟から𝑠までを𝑚分割して，その𝑛倍を𝑟から加算したものを𝑎𝑛とおく． すなわち，

    𝑎𝑛=𝑟+(𝑠−𝑟)𝑛𝑚
    図1
    図1

    とおく．

    𝑎𝑛は常に有理数で，𝑛=0のとき𝑎0=𝑟∈𝐴で，𝑛=𝑚のとき𝑎𝑚=𝑠∈𝐴′となるので， 𝑎𝑛は𝑛が0から増えるに従い，いつか𝐴の元から𝐴′の元になるはずである．

    つまり，𝑎0∈𝐴,𝑎𝑛∈𝐴′から，𝑎𝑘<𝛼≤𝑎𝑘+1なる自然数𝑘が0<𝑘≤𝑚に存在する．

    図2
    図2

    𝑎𝑘=𝑎とすれば，𝑎<𝛼≤𝑎+1𝑚なる有理数𝑎が存在することになる．

復習ノート

Section titled “復習ノート”
  • 有理数の切断の条件1.,2.,3.,3’.は何だったか．

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