コンテンツにスキップ
数学の主張

実数の連続性2（定理1.6）

目次実数の連続性（定理1.6） ........................................................................ ⁠1視覚的なイメージ .............................................................................. ⁠1証明 ............................................................................................ ⁠1実数の切断は実数である． ................................................................... ⁠1𝛼 は𝐵の最大もしくは𝐵′の最小である． ..................................................... ⁠1なぜ連続であると言えるのか． ................................................................. ⁠1実数の連続性（定理1.6）　小平邦彦著『解析入門Ⅰ』における実数の連続性に関する定理1.6について，その証明を丁寧に解説する。　書いていて思った．文章ばかりの証明なんて誰が見たいのだと．だが仕方ない．そういうものかなと自分を納得させる．定理 1.6（実数の連続性）⟨𝐵,𝐵′⟩ を実数の切断とするとき、次のいずれか一方が必ず成り立つ。•𝐵 に属する最大の実数が存在する。 - ①•𝐵′ に属する最小の実数が存在する。 - ②視覚的なイメージ実数直線上の「切断」𝐵 (左側)𝐵′ (右側)境界点 𝛼 が 𝐵 の「右端(最大)」か、𝐵′ の「左端(最小)」のどちらかになる証明　（そのままだとちゃんとした数学的な証明になっていないので注意してね．）実数の切断は実数である．　⟨𝐵,𝐵′⟩ は実数の切断であって，まだ何者なのかわからない．つまり，実数直線上にはすき間があって，それを埋める何かかもしれない．ただここでは①② のいずれかであることを示すので，最大なり最小なりの実数になりえるものを構成する．実数の切断があり，切断箇所に示したい実数があると思う．よって，𝐴=𝐵∩ℚ,𝐴′=𝐵′∩ℚ,𝛼=⟨𝐴,𝐴′⟩とおく．　注意したいのは，𝛼=⟨𝐴,𝐴′⟩ はまだ有理数の切断かわかっていないことだ．具体的に言うと，𝐴 に最大の有理数がないかわかっていない．なぜなら，それは実数の切断 ⟨𝐵,𝐵′⟩ から構成したからだ．　𝛼=⟨𝐴,𝐴′⟩ が実は実数であることを示す．　𝐴 に属する最大の有理数𝑎があるとする．すると，𝐴=𝐵∩ℚ だったので，𝑎 は 𝐵 に属する最大の有理数である．𝑎 は実数でもあるから，𝐵上で考えると，𝑎<𝜌𝜌∈𝐵 なる実数𝜌 があるとすれば，定理1.4より，𝑎<𝑟<𝜌 なる有理数𝑟がとれる．（実数𝜌 は有理数とは限らない．無理数とすれば，𝑎<𝜌 なるものは存在する．）つまり，𝑎<𝑟 なる有理数𝑟がとれる．有理数𝑎 より大きい𝐴 に属する有理数𝑟が存在したので，矛盾が生じた．つまり，𝐴 に属する最大の有理数𝑎は存在しない．　実数の切断⟨𝐵,𝐵′⟩の切断面が有理数であり，それが𝐵に属するとき，上の論理は成り立たない．𝑎<𝜌𝜌∈𝐵なる実数𝜌はないからである．なので，このときは切断面の有理数は𝐵′に属すると考える（つまり，切断面が有理数なら，この有理数は𝐵′に属するものと初めから考える）．実数の切断の定義上も問題ない．すると，𝐴に属する最大の有理数𝑎は切断面の点ではなくなり，上の論理が成り立ち，𝐴に属する最大の有理数𝑎は存在しない．　𝐴 に属する最大の有理数はないものとする．すると𝛼=⟨𝐴,𝐴′⟩は有理数の切断であり，実数である．𝛼 は𝐵の最大もしくは𝐵′の最小である．　𝛼 は実数であることがわかったので，𝛼∈𝐵 もしくは 𝛼∈𝐵′ である．なぜなら，𝛼∈𝐵 かつ 𝛼∈𝐵′だとすると，実数の切断の定義から，𝛼<𝛼になるので矛盾する．よって，𝛼∈𝐵 かもしくは 𝛼∈𝐵′しかありえない．　𝛼∈𝐵とする．このとき，𝛼は𝐵の最大である．なぜなら，もし𝛼が𝐵の最大でないとすると，𝛼<𝜌なる𝜌∈𝐵が存在する．この実数𝜌に対して，𝛼<𝑟<𝜌なる有理数𝑟∈𝐵がとれる．このとき，𝑟∈𝐴である．しかし，定理1.3より，𝛼=⟨𝐴,𝐴′⟩において，𝛼<𝑟なる有理数𝑟は𝑟∈𝐴′のはず．矛盾が生じた．したがって，𝛼は𝐵の最大である．　同様に𝛼∈𝐵′とすれば，𝛼は𝐵′の最小である．　以上により，①②が示せた．なぜ連続であると言えるのか．　この定理1.6が主張することは，数直線を切断した点が𝐵(切断左の集合)に属するときはその点は𝐵の最大である，もしくは𝐵′(切断右の集合)に属するときはその点は𝐵′の最小であるということである．つまり，数直線を切断した点が𝐵の最大もしくは𝐵′の最小であるということである．これは別の言い方をすれば，切断した点は𝐵と𝐵′の境目ということである．すなわち：𝜌∈𝐵,𝜎∈𝐵′ならば𝜌≤𝛼≤𝜎を満たす実数𝛼が存在する．これが連続であるということである．