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数学の主張

定理4.15(積分変数の変換と広義積分の収束性および同値性)

　広義積分における変数変換（置換積分）の公式を与える定理である。関数 𝑥=𝜑(𝑡) によって、広義積分の積分変数を 𝑥 から 𝑡 へと変換し、対応する積分範囲で計算できることを示している。定理4.15　𝑓(𝑥)は開区間 (𝑎,𝑏) で連続な 𝑥 の関数，𝜑(𝑡)は (𝛼,𝛽) で連続微分可能な 𝑡 の関数で，𝛼<𝑡<𝛽 のとき 𝑎<𝜑(𝑡)<𝑏，𝑎=lim𝑡→𝛼+0𝜑(𝑡),𝑏=lim𝑡→𝛽−0𝜑(𝑡) であると仮定する． この仮定のもとで，広義積分∫𝑏𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥が収束するための必要かつ十分な条件は広義積分∫𝛽𝛼𝑓(𝜑(𝑡))𝜑′(𝑡)𝑑𝑡が収束することであって，収束するときには等式：∫𝑏𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫𝛽𝛼𝑓(𝜑(𝑡))𝜑′(𝑡)𝑑𝑡が成り立つ．定理の主張　この定理の主張は2つある．1.∫𝑏𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥が収束するときは，∫𝛽𝛼𝑓(𝜑(𝑡))𝜑′(𝑡)𝑑𝑡も収束し，その逆も成り立つ．つまり，この2つの広義積分の収束性は等価である．2.∫𝑏𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫𝛽𝛼𝑓(𝜑(𝑡))𝜑′(𝑡)𝑑𝑡である．1.で収束性の等価を主張しているが，その極限値が常に同じであるとは言っていない．そこでこの2.で極限値が常に同じであることを主張している．証明　まず、任意の [𝑐,𝑑]⊂(𝑎,𝑏) に対して、𝑓(𝑥) は連続なので定積分 ∫𝑑𝑐𝑓(𝑥)𝑑𝑥 が存在する。これに対応する (𝛼,𝛽) 内の区間を [𝛾,𝛿] （すなわち 𝜑(𝛾)=𝑐,𝜑(𝛿)=𝑑）とすると、通常の定積分の置換積分公式より、次が成り立つ：∫𝑑𝑐𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∫𝛿𝛾𝑓(𝜑(𝑡))𝜑′(𝑡)𝑑𝑡(1)　ここで、ある一点 𝑥0∈(𝑎,𝑏) と 𝑡0∈(𝛼,𝛽) を、𝑥0=𝜑(𝑡0) となるように固定する。原始関数に相当する関数をそれぞれ次のように置く：𝐹(𝑥)=∫𝑥𝑥0𝑓(𝑢)𝑑𝑢,𝐺(𝑡)=∫𝑡𝑡0𝑓(𝜑(𝑣))𝜑′(𝑣)𝑑𝑣式(1) より、𝐹(𝜑(𝑡))=𝐺(𝑡) がすべての 𝑡∈(𝛼,𝛽) で成り立つ。1. 収束性の等価性　広義積分 ∫𝑏𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥 が収束するための必要十分条件は、定義により極限 lim𝑥→𝑏−0𝐹(𝑥) および lim𝑥→𝑎+0𝐹(𝑥) が存在することである。(i) 必要条件：∫𝑏𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥 が収束すれば、∫𝛽𝛼𝑓(𝜑(𝑡))𝜑′(𝑡)𝑑𝑡 も収束する。　仮定より lim𝑡→𝛽−0𝜑(𝑡)=𝑏 かつ 𝜑(𝑡) は連続なので、𝑡→𝛽−0 のとき 𝜑(𝑡)→𝑏−0 となる。合成関数の極限の性質により、lim𝑡→𝛽−0𝐺(𝑡)=lim𝑡→𝛽−0𝐹(𝜑(𝑡))=lim𝑥→𝑏−0𝐹(𝑥)であり、右辺が存在するならば左辺も存在する。下端についても同様に lim𝑡→𝛼+0𝐺(𝑡)=lim𝑥→𝑎+0𝐹(𝑥) が成り立つため、必要条件が示された。(ii) 十分条件：∫𝛽𝛼𝑓(𝜑(𝑡))𝜑′(𝑡)𝑑𝑡 が収束すれば、∫𝑏𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥 も収束する。　𝜑(𝑡) は (𝛼,𝛽) から (𝑎,𝑏) への連続微分可能な関数であり、その像は (𝑎,𝑏) 全体にわたる。十分条件を示すには、𝑥 が 𝑎 または 𝑏 に近づくときに 𝐹(𝑥) が収束することを確認すればよい。𝐹(𝑥)=𝐺(𝜑−1(𝑥)) と考えれば（𝜑 が狭義単調であることを考慮すると）、lim𝑥→𝑏−0𝐹(𝑥)=lim𝑡→𝛽−0𝐺(𝑡)が成り立ち、右辺が存在するならば左辺も存在する。下端も同様である。　以上 (i), (ii) より、収束性の等価性が示された。2. 極限値の等号　双方が収束する場合、その値は次の極限で与えられる：∫𝑏𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥=lim𝑥2→𝑏−0∫𝑥2𝑥0𝑓(𝑥)𝑑𝑥−lim𝑥1→𝑎+0∫𝑥1𝑥0𝑓(𝑥)𝑑𝑥=lim𝑡2→𝛽−0∫𝑡2𝑡0𝑓(𝜑(𝑡))𝜑′(𝑡)𝑑𝑡−lim𝑡1→𝛼+0∫𝑡1𝑡0𝑓(𝜑(𝑡))𝜑′(𝑡)𝑑𝑡=∫𝛽𝛼𝑓(𝜑(𝑡))𝜑′(𝑡)𝑑𝑡　以上により、等式が成り立つことが示された。定理4.14 と 定理4.15 の違い　定理4.14と定理4.15は、どちらも積分変数の変換に関する定理であるが、その主張が異なる．•定理4.14は、積分変数の変換と定積分は等価であることを示す．•定理4.15は、区間の端が不連続な点な場合でも、積分変数の変換と広義積分の収束性が同じであり，その極限値も同じであることを示す．定理4.14（定積分の積分変数の変換）についてはこちらを参照してください： 定理4.14 (定積分の積分変数の変換)