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数学日誌
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実数論
はじめに．
解析入門Ⅰ（小平邦彦著）の全体像 — 「平均値の定理」へと至る論理の階梯
解析入門Ⅰ（小平邦彦著）岩波講座 基礎数学の進捗状況
第1章 実数論
第1章 実数論（導入：ライト版）
第1章「実数」の全体像：解析入門Ⅰ（小平邦彦著）
有理数の切断と実数(定義1.0，定義1.1)
実数の大小（定義1.2・定理1.1）
実数は推移的である．（定理1.2）
任意の実数はその値で有理数直線を切断できる(定理1.3)
実数間の有理数の存在（定理1.4）
実数は有理数で近似できる．（定理1.5）
循環しない無限小数は無理数を表わす．(P14)
無理数は稠密である．（P16）
実数の切断（P16）
実数の連続性（定理1.6）
実数の連続性2（定理1.6）
実数の加法の定義．（P18，補題1.1）
実数が有理数の場合の加法について（P19)
実数と有理数の加法について（P19）．
実数における逆元と加法．（定義，定理1.8）
実数の大小と加法の関係（定理1.9，定理1.10）
実数における三角不等式（定理1.11）
実数の極限の定義（定義1.4）
収束の定義の言い換え(定理1.12)
収束する数列の極限はただ一つ．(P24)
解析入門Ⅱ（小平邦彦著）岩波講座 基礎数学の進捗状況
微分法
第3章 微分法
積分法
第4章 積分法
定理4.14(定積分の積分変数の変換)
定理4.15(積分変数の変換と広義積分の収束性および同値性)
積分計算のテクニックと手法
基本的な積分の公式
線形代数
はじめに．
連立n元1次多項式から行列を定義する．
行列は写像と捉える．
ベクトルとベクトル空間の定義．
1次関係、1次従属、1次独立についての主張（定義）.
線形写像の像空間と核空間（定義）
線形写像と1次結合の行列表記
ベクトル空間における次元の主張
線形写像の合成と表現行列の関係について（定理6.10.4）
定理4.6.11を証明する．
線形写像の単射性とベクトル空間の関係（定理7.3.2）
線形写像の単射性と次元の関係について（定理7.3.3（1））
線形写像の全射性と次元の関係について（定理7.3.3（2））
線形変換fとf-λ1の安定像空間は同値である．
ジョルダン標準形の主張．
線形代数学 第1版第3刷（川久保勝夫 著）をレビューする．
exercises
線形代数学（川久保勝夫著）内の演習問題の解答をまとめる．
P106 第4章 章末問題7(2)．
P106 第4章 章末問題7(3)．
P106 第4章 章末問題7(4)．
P106 第4章 章末問題8(1)．
P106 第4章 章末問題8(2)．
P106 第4章 章末問題8(3)．
P107 第4章 章末問題9(1)．
P107 第4章 章末問題9(2)．
P107 第4章 章末問題10(1)．
P107 第4章 章末問題10(2)．
P107 第4章 章末問題10(3)．
P107 第4章 章末問題10(4)．
ヴァンデルモンドの行列式を再帰的に示す．
P107 第4章 章末問題11(1)．
P108 第4章 章末問題11(2)．
P108 第4章 章末問題11(3)．
P108 第4章 章末問題11(4)．
P108 第4章 章末問題11(5)．
像空間と核空間についての例題（例題13）
微積分 演習
マグロウヒル大学演習シリーズ 微積分(上) の解答をまとめる．
chapter01
P26 問107 (第1章 数)
P26 問108 (第1章 数)
chapter03
P69 問39 (第3章 数列)
P71 問62 (第3章 数列)
P71 問65 (第3章 数列)
P71 問66 (第3章 数列)
P72 問67 (第3章 数列)
P72 問68 (第3章 数列)
P72 問69 (第3章 数列)
P72 問70 (第3章 数列)
P72 問71 (第3章 数列)
高校数学
高校数学の基礎をまとめる（はじめに）．
数列の極限の基礎は何か．
関数の極限と微分の基礎は何か．
高校数学III-C ノルマ表
数学の基盤と構造
構造（Structure）とは何か？
数学的構造（Mathematical Structure）とは何か？
論理的構造（Logical Structure）とは何か？
自然数の構造：ペアノの公理から見えるもの
代数的構造（Algebraic Structure）とは何か？
順序構造（Order Structure）とは何か？
位相的構造（Topological Structure）とは何か？
解析的構造：微分と積分の骨組み
複合構造（Composite Structure）：構造たちの共演
圏論的構造（Category-theoretic Structure）とは何か？
母構造と構造主義：数学の「設計図」を読み解く
現代数学の基盤：集合・写像・論理という三位一体
数学エッセイ・学習法
数学を勉強するとは何か．
いかにして数学書を読むか．
セミナーの準備の仕方はどうすればいいのか．
大学受験数学は教科書で学ぶべきか．
数学ができている人とできていない人の特徴
(要約)算数と出世：宿題の科学的価値と将来の成功率
ノートはどう取ればいいのか．
三元数を構成する．
「群論への第一歩」読書レビュー
正の整数は2のべき乗の和で一意的に表せる．
カッシーニの恒等式を証明する．
実数の数列がある点に収束することと位相的構造はどのように関係するのか．
「微分は線形近似」から見た積分法：バラバラの近似を繋ぎ合わせて「物語」を編み直す
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基本的な積分の公式
ここでは、すべての積分計算の土台となる基本的な公式をまとめる（積分定数
𝐶
は省略）。
関数
積分結果
∫
𝑥
𝑛
𝑑
𝑥
𝑥
𝑛
+
1
𝑛
+
1
(
𝑛
≠
−
1
)
∫
1
𝑥
𝑑
𝑥
log
|
𝑥
|
∫
sin
𝑥
𝑑
𝑥
−
cos
𝑥
∫
cos
𝑥
𝑑
𝑥
sin
𝑥
∫
tan
𝑥
𝑑
𝑥
−
log
|
cos
𝑥
|
=
log
|
sec
𝑥
|
∫
cot
𝑥
𝑑
𝑥
log
|
sin
𝑥
|
∫
sec
𝑥
𝑑
𝑥
log
|
sec
𝑥
+
tan
𝑥
|
=
log
|
tan
(
𝑥
2
+
𝜋
4
)
|
∫
csc
𝑥
𝑑
𝑥
log
|
csc
𝑥
−
cot
𝑥
|
=
log
|
tan
(
𝑥
2
)
|
∫
sec
2
𝑥
𝑑
𝑥
tan
𝑥
∫
csc
2
𝑥
𝑑
𝑥
−
cot
𝑥
∫
sec
𝑥
tan
𝑥
𝑑
𝑥
sec
𝑥
∫
csc
𝑥
cot
𝑥
𝑑
𝑥
−
csc
𝑥
∫
𝑎
𝑥
𝑑
𝑥
𝑎
𝑥
log
𝑎
𝑎
>
0
,
𝑎
≠
1
∫
𝑒
𝑥
𝑑
𝑥
𝑒
𝑥
∫
sinh
𝑥
𝑑
𝑥
cosh
𝑥
∫
cosh
𝑥
𝑑
𝑥
sinh
𝑥
∫
tanh
𝑥
𝑑
𝑥
log
(
cosh
𝑥
)
∫
coth
𝑥
𝑑
𝑥
log
|
sinh
𝑥
|
∫
sech
2
𝑥
𝑑
𝑥
tanh
𝑥
∫
csch
2
𝑥
𝑑
𝑥
−
coth
𝑥
∫
sech
𝑥
tanh
𝑥
𝑑
𝑥
−
sech
𝑥
∫
csch
𝑥
coth
𝑥
𝑑
𝑥
−
csc
𝑥
∫
𝑑
𝑥
√
𝑎
2
−
𝑥
2
sin
−
1
(
𝑥
𝑎
)
または
−
cos
−
1
(
𝑥
𝑎
)
∫
𝑑
𝑥
√
𝑥
2
±
𝑎
2
log
|
𝑥
+
√
𝑥
2
±
𝑎
2
|
∫
𝑑
𝑥
𝑥
2
+
𝑎
2
1
𝑎
tan
−
1
(
𝑥
𝑎
)
または
−
1
𝑎
cot
−
1
(
𝑥
𝑎
)
∫
𝑑
𝑥
𝑥
2
−
𝑎
2
1
2
𝑎
log
|
𝑥
−
𝑎
𝑥
+
𝑎
|
∫
𝑑
𝑥
𝑥
√
𝑎
2
±
𝑥
2
1
𝑎
log
|
𝑥
𝑎
+
√
𝑎
2
±
𝑥
2
|
∫
𝑑
𝑥
𝑥
√
𝑥
2
−
𝑎
2
1
𝑎
sec
−
1
(
𝑥
𝑎
)
または
1
𝑎
cos
−
1
(
𝑎
𝑥
)
∫
√
𝑥
2
±
𝑎
2
𝑑
𝑥
𝑥
2
√
𝑥
2
±
𝑎
2
±
𝑎
2
2
log
|
𝑥
+
√
𝑥
2
±
𝑎
2
|
∫
√
𝑎
2
−
𝑥
2
𝑑
𝑥
𝑥
2
√
𝑎
2
−
𝑥
2
±
𝑎
2
2
sin
−
1
(
𝑥
𝑎
)
∫
𝑒
𝑎
𝑥
sin
(
𝑏
𝑥
)
𝑑
𝑥
𝑒
𝑎
𝑥
𝑎
2
+
𝑏
2
(
𝑎
sin
(
𝑏
𝑥
)
−
𝑏
cos
(
𝑏
𝑥
)
)
∫
𝑒
𝑎
𝑥
cos
(
𝑏
𝑥
)
𝑑
𝑥
𝑒
𝑎
𝑥
𝑎
2
+
𝑏
2
(
𝑎
cos
(
𝑏
𝑥
)
+
𝑏
sin
(
𝑏
𝑥
)
)