導関数の基礎

【数学Ⅲ】「導関数」の基礎とは何か？ 〜複雑な計算を可能にする微分法のルール〜

数学Ⅲの「微分法」の第一歩は、数学Ⅱで学んだ多項式の微分から脱却し、「あらゆる形の関数を微分するための計算ルール（道具）」を手に入れることである。ここでは、個別の関数の微分公式を覚える前に知っておくべき、微分の基本原則と強力な計算手法の基礎を解説しる。

導関数の定義と「微分可能」の意味

導関数は極限を用いて定義され、関数が微分可能であることはグラフが滑らかにつながっていることを意味しる。

すべての微分の出発点は、極限を用いた導関数の定義式である。 この式が意味をもつ（極限値が存在する）とき、「関数 は微分可能である」と言いる。グラフで言えば「グラフが滑らかにつながっており、とがった点（尖点）がない」状態である。 また、「微分可能であれば、必ず連続である（グラフが途切れていない）」という定理は、数学Ⅲの論証問題で非常に重要になる。

複数の関数が組み合わさった式の微分法

積や商の形で表される複雑な関数は、専用の微分公式を用いることで正確に導関数を求めることができる。

数学Ⅲでは、 のような掛け算や、 のような割り算の形をした関数が登場しる。これらを微分するための強力な公式が以下である。

• 積の微分：（「微分・そのまま ＋ そのまま・微分」と覚えるのが王道です）
• 商の微分：（分母を2乗し、分子は「上微分・下そのまま － 上そのまま・下微分」となります）

数学Ⅲの最重要ツール「合成関数の微分法」

合成関数の微分法は、関数の外側と内側を分けて微分して掛け合わせる、数学Ⅲで最も使用頻度の高い計算ルールである。

数学Ⅲの微分の要（かなめ）と言えるのが「合成関数の微分」である。 や のように、関数の「中身」が別の関数になっていても微分できるルールである。

• 合成関数の微分： のとき、

簡単に言えば、「外側を微分して、中身の微分を掛け算する」というルールである。数学Ⅲの微分計算の大部分は、この合成関数の微分を用いて行われる。

逆関数・媒介変数表示の微分法

直接微分が難しい関数でも、逆関数や媒介変数を利用することで間接的に導関数を求めることが可能である。

を の式で直接表すのが難しい場合でも、別の視点から を求めることができる。

• 逆関数の微分： （ を で微分したものの逆数をとる）
• 媒介変数表示の微分： のとき、

まとめ

「導関数」の単元では、個別の関数が何であれ適用できる普遍的な計算ルールを身につけることが最大の目標である。

• 極限を用いた導関数の定義と、微分可能・連続の関係を理解する
• 積の微分法と商の微分法を正確に使いこなす
• 数学Ⅲの計算の要となる合成関数の微分法を習得する
• 逆関数や媒介変数表示を用いた間接的な微分手法を身につける