単射・全射・全単射 ― 現代数学における「構造の比較」

前回の記事では、同値関係、商集合、全射が一つの流れとして理解できることを見た。 同値関係によって違いを忘れ、商集合を作り、その結果として全射が自然に現れる。 単射、全射、全単射は、構造を比較する三つの方法として統一的に理解できる。

現代数学は構造を見る

現代数学では対象そのものよりも対象間の関係である「構造」を重視し、それらを比較するために写像を用いる。

現代数学では、対象そのものよりも構造を重視する。 例えば群論では、数そのものではなく演算の仕組みを見る。 線形代数では、ベクトルそのものではなく線形構造を見る。 位相空間論では、点そのものではなく近さの構造を見る。 ここで、二つの構造をどう比較するかが問題になる。 この比較を行う道具が写像である。

単射は部分構造を見る

単射は異なるものを潰さずに送るため、対象の構造を壊さず別の対象の中へ埋め込むことを意味する。

単射の定義は以下の通りである。

これは異なるものを潰さないということであり、情報の観点では情報を失わないという意味だった。

例えば、整数全体の集合 を実数全体の集合 へ送る写像を考える。

整数は実数の中にそのまま入っている。 ここで重要なのは、整数の構造が壊れていないことである。 したがって単射は、構造を保ったまま中へ埋め込むことを意味する。

だから単射を見ると、この対象は別の対象の部分として見られると考えられる。 群論なら部分群、線形代数なら部分空間、集合論なら部分集合がこれに対応する。

全射は商構造を見る

全射はすべての像が相手に届く写像であるが、本質的には違いを忘れて大まかな分類へと構造を要約する操作である。

全射は、すべての像が相手に届く写像である。 しかし本質的には、違いを忘れる写像だった。 例えば、東京、神奈川、埼玉をまとめて関東として扱う。 すると、細かい違いは消える。 残るのは、大まかな分類だけである。 したがって全射は、構造を要約する操作と考えられる。

群論では剰余群、線形代数では商空間、集合論では商集合が現れる。 つまり全射を見ると、この対象は別の対象を単純化したものだと考えられる。

単射と全射は正反対

単射が対象の一部として埋め込むのに対し、全射は対象を要約するものであり、両者は完全に対照的な概念である。

ここまでを整理すると、単射と全射は対照的である。

概念	構造の見方
単射	中へ埋め込む。情報を保存。 部分構造。
全射	要約する。情報を圧縮。 商構造。

つまり、対象 と対象 があるとき、単射は「 は の一部として見られる」という主張である。 一方、全射は「 は を要約したものだ」という主張なのである。

全単射は何を意味するのか

全単射は情報を失うことなく相手を完全に覆う写像であり、二つの世界が本質的に同じであることを意味する。

全単射とは、単射かつ全射である。 情報を失わないことと、相手を完全に覆うことを同時に満たすため、どちらの世界にも余分なものがない。

例えば から への対応で、 の情報がすべて保存され、なおかつ 全体を作っている状態である。 これは、二つの世界は本質的に同じということを意味する。

数学者は何を「同じ」と考えるのか

数学者は見た目の違いではなく、対象間に全単射が存在して構造が同じかどうかを重視する。

数学者は、見た目が同じかどうかではなく、構造が同じかを重視する。 例えば、以下の二つの集合を考える。

これらは別の集合である。 しかし、以下のような全単射がある。

• 1 ↔ a
• 2 ↔ b
• 3 ↔ c

集合として見れば、両者は区別する意味がない。 数学者はこのようなとき、本質的には同じと考える。 構造が同じであれば、片方で証明された定理や性質が、もう片方でもそのまま成り立つ。 表面的な名前や見た目が異なるからといって、個別に研究する必要はない。 一度その構造を解明すれば、同じ構造を持つすべての対象に結果を適用できる。

同型という考え方

構造を保つ全単射を同型と呼び、現代数学においては同型なものは同じものとして扱う思想が支配的である。

現代数学では全単射があるだけでは不十分であり、構造も保存しなければならない。 群なら演算を、線形空間なら線形構造を、位相空間なら位相を保存する。 このような構造を保つ全単射を同型という。 最終的に、同型なものは同じものとして扱う。

現代数学を貫く三つの視点

単射で部分構造を、全射で商構造を、全単射（同型）で本質的な同一性を見るという三つの視点が現代数学を貫いている。

単射、全射、全単射は、構造を見るための三つの基本的な視点である。

• 単射：部分構造を見る
• 全射：商構造を見る
• 全単射（同型）：本質的な同一性を見る

群論でも、線形代数でも、位相空間論でも、圏論でも、この三つの考え方が繰り返し現れる。

まとめ

現代数学は対象そのものではなく、単射・全射・全単射という写像を通して表現される構造の関係を研究する学問である。

単射とは、構造を保ったまま中へ埋め込むことであり、部分構造を理解するための概念である。 全射とは、違いを忘れて要約することであり、商構造を理解するための概念である。 全単射とは、二つの構造が完全に対応することであり、本質的な同一性を表す。 そして現代数学は、対象そのものではなく、これらの写像によって表現される構造の関係を研究する学問なのである。