現代的数学 vs 古典的数学 : 数学の見方を整理する
古代から現代に至るまでの数学の特徴
Section titled “古代から現代に至るまでの数学の特徴”本章では、古代から現代までの数学の歴史的変遷と、それぞれの時代における主要な特徴について解説する。数学は時代ごとの社会的要求や思想の発展に伴い、その目的や対象を大きく変化させてきた。
古代の数学は、実用的な問題解決を目的として経験的に発展したという特徴がある。
- 実用的・経験的: エジプトやバビロニアなどの古代農業国家において、農地の測量や土木工事、徴税などの実用的な目的のために発達した。
- 一般化・法則化の欠如: 公理や定理を用いた証明という体裁はなく、個々の具体的な問題とその解法を経験的に集めた段階にとどまっていた。
- 具体例: ナイル川氾濫後の農地復旧のための測量技術（ロープを使った直角三角形の作成）や、ピラミッド建設のための計算、商取引や徴税に用いられたバビロニアの粘土板に残る分数や方程式の具体的な解法などが挙げられる。
中世の数学は、古代ギリシャのユークリッドらによって確立された幾何学などの特徴を色濃く受け継いでいる。
- 論証的・演繹的: 定義、公理、定理、証明という整然たる論証の方法が確立され、論理の力によって数学が自己増殖するようになった。
- 静的: しかしその方法ははなはだしく「静的」であり、運動や変化を扱うのではなく、不動で静止したものを研究対象とする特徴を持っていた。
- 具体例: ユークリッドの『原論』に代表される平面幾何学。「点とは部分を持たないものである」といった定義や、「任意の2点を通る直線を引くことができる」といった自明の理（公理）から出発し、図形の性質（ピタゴラスの定理など）を純粋な論理展開のみで証明していくスタイルである。
近代の数学は、17世紀のデカルトやニュートンらによって切り開かれた、運動と変化を捉える動的な体系である。
- 動的（運動と変化の数学）: デカルトによる座標の導入により、図形を数式で表すことが可能になり、静止した数学から「運動と変化」をとらえる動的な数学へと大きく転換した。
- 自然法則を探求する道具: 微分積分学や関数概念が中心となり、自然界の因果関係（自然法則）を解き明かすための道具として発展した。
- 現実世界との密着: 現実の客観的世界の現象を忠実に写し出す顕微鏡やカメラのような役割を果たしており、現実世界から乖離する心配はなかった。
- 具体例: デカルトの「座標幾何学（解析幾何学）」や、ニュートンとライプニッツによって構築された「微分積分学」。大砲の弾の飛ぶ軌道（放物線）の計算や、天体観測に基づく惑星の運動法則の解明など、物理学・力学と強く結びついて発展した。
現代の数学は、19世紀末から20世紀にかけてヒルベルトらによって確立された、構造と公理系の科学である。
- 「構造」の科学: 数学の主要な研究対象が数や図形から「構造」へと移り変わり、命題や論理なども数学の枠内に入って守備範囲が大きく拡大した。
- 無定義語と公理系（構成的方法）: 点や線を直観的な意味を持たない単なる記号（無定義語）とみなし、公理系を一種の設計図（仮説）として設定することで内的整合性（無矛盾性）を重視するようになった。
- 現実からの遊離と空想的構成物の創造: 現実世界には対応物を持たないような、人間の自由な思考による空想的な構成物（数学的構造）をも創り出すようになった。
- 具体例: 「群論」「位相空間論」、そしてヒルベルトに代表される「公理的幾何学」や「非ユークリッド幾何学」。たとえば非ユークリッド幾何学では「平行線が交わる」といった、現実空間の直観に反する公理をあえて設定し、そこから矛盾のない新しい論理体系（数学的構造）を自由な思考によって構築した。
各時代の数学の変遷を要約すると以下のようになる。
- 古代: 実用・経験に基づく問題解決の手段
- 中世: 公理と論証に基づく静的な体系の構築
- 近代: 運動と変化を記述し、自然法則を探求する動的な道具
- 現代: 自由な思考と公理系によって、抽象的な「構造」を創造する科学
このように、数学は時代ごとにその本質を更新しながら発展を続けてきたのである。
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