論理命題の同値変形問題

この記事では、命題 と同値な命題を求める問題の解法を解説する。 結論から述べると、同値な命題は である。

問題

このセクションでは、書籍『集合・写像・論理 数学の基本を学ぶ』(中島匠一 著)に掲載されている論理命題の問題（問題5.3）の内容を提示する。

問題5.3

は命題だとする。このとき、命題「」と同値である命題は次のうちどれか。

• (1)
• (2)
• (3)
• (4)

解法

このセクションでは、論理学における同値変形を用いて問題の命題を段階的に変形し、正解を導く手順を解説する。

1. 含意の解消

まず、含意を論理積や論理和などの基本演算子のみで表現する。

命題 は、論理学的に と同値である。 これを用いて、与えられた命題を変形する。

2. ド・モルガンの法則

次に、ド・モルガンの法則を用いて否定のスコープを小さくする。

ド・モルガンの法則 を適用する。

3. 分配法則

続いて、論理和を分配して式を展開する。

分配法則 を適用する。

4. 含意への再変換

最後に、変形した各項を再び含意の形に戻す。

よって、次のように同値変形できる。

結論

以上の変形により、 は と同値であることが示された。 したがって、正解の選択肢は (2) である。